失業保険について質問します
会社都合で退職する場合は、すぐに失業手当が出ると聞きました。

正社員で11か月の勤務でも貰えるのですか？

解雇、倒産等の理由で退職した場合は、離職前の１年間に
通算して６ヶ月間の雇用保険の保険料を納めた期間が
あれば受給手続きから約４週間後に基本手当てが振り込まれます

※勤務した期間でもらえるわけではありません

※会社都合なら全ての人がすぐに貰えるわけではありません

※解雇、倒産等の理由で退職して、安定所が特定受給資格者

と認めた人が、６ヶ月の加入期間で給付制限がなくもらえるのです

失業保険をもらわないで働くか、もらって働かないかでは、どちらが得するのでしょうか？
ちなみに私の地域での月収は２０万円程度です。

どっちもどっちだと思います。
自己都合で会社を辞め、職業安定所に行くと待機期間（一週間）働いてはいけなくて、それから３ヶ月後に失業手当がもらえます。
つまり、３ヶ月以上たってもらえるのです。
それだったら待機期間後すぐに就職活動して、再就職手当をもらってはどうでしょう。
給料と手当でけっこうもらいますよ！！
私もそれでいきました。

パートで働いており３ヶ月毎の更新です。

契約の更新が無いと会社から言われた 場合失業保険はすぐにもらえるのでしょうか？

下の回答の方はちょっと間違っていますね。
失業保険の受給資格は
会社都合の場合離職日以前一年間で
6ヶ月以上雇用保険に加入していれば、大丈夫です。（三年ではありません）この時は失業保険は給付制限（三ヶ月）なく支給されます。
退職後、約二週間後に会社から離職票が届きます。離職票他を持参し、ハローワークで手続きして下さい。
手続きした日から7日間待機期間があり待機期間満了の翌日から支給対象となります。
手続きした日から約一ヶ月後に支給となります。（この間に雇用説明会と認定日があります。）

会社を退職して、９月10日から失業保険の給付が90日始まります。できたら10月から３か月留学して次の就職に役立てたいと考えてますが、この場合受給期間の延長はできますか？
９月に１度受給して残りを留学の終わった１月からもらうなんてむりですか？

上記の方も述べてますが、受給期間の延長は無理です。
質問者さんが、職場を退職したのは何時の事でしょうか？

雇用保険には受給期間という保険を受けられる有効期間が退職日から１年間あります。
その間に９０日間の失業状態である認定を受けて受給すればよいわけです。

自己都合退職の方の場合、離職票提出日から７日の待期期間と３ヶ月間の
給付制限期間が終わってから９０日分の基本手当が受けられる訳です。
、
仮に９月の認定日を９月２４日と仮定すると、１４日分受給可能です。
そうなると次の認定日は１０月２２日になりますが、行かない場合は
７６日分はそのまま残ります。

本来はここで、２２日以降になるべく早く次の認定日の確認の為、安定所に行く必要が
あるところですが、質問のケースからそれるので述べませんが、
1月に留学から帰国したら、すぐに安定所に行ってください。

安定所では長期間来所がなかったということで、その日から再求職の申込みがされた
という扱いになります。

その日から受給期間満了日までの間の日数が７６日以上あって、失業状態であるという
認定を受ければ、残りの７６日分を受給できるということです。

当然、次に指定された認定日に決められた回数の求職活動を行ってから安定所に
行くことは必要です。

退職してすぐに雇用保険の申込みをされた方で、最初の認定日に安定所に
来所済みの方なら、３ヶ月程度の留学なら受給期間内に９０日分受給する
ことは可能ですが、６ヶ月あたりから受給できる日数が目減りして、
９ヶ月あたりなら全くもらえないことになります。

（ギリギリのスケジュールで基本手当を受給しようとしても、何かしらのアクシデントが
起こって計画がくるうことは多いので、その辺はお気を付け下さい）

失業保険の受給資格について教えて下さい。

入社日に雇用保険に加入し10ヶ月の経過の後、
病気のため欠勤し給料は0円、給料の代わりに(?)傷病給付を受けたとします。
ただしそのまま会社には在籍し
入社から1年以上経過してしてから退職手続きをしたとします。

その後健康を回復してから就職活動をはじめるにあたり、
失業保険を受給する事はできるのでしょうか？

自己都合での退職の場合、１年の雇用保険の加入期間と１１日以上出勤した月が１２ヶ月必要です。傷病手当は給与ではありませんので出勤とはみなされませんので、手当ての対象とはなりません。
ただし、傷病手当を受けていたという状況でもし特定受給者として認められば可能かもしれません。ハロワで相談してみて下さい。

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